Lectura Obligatoria: Barbara Ryden (Capítulo 6: Introduccion, Sec 6.1, Sec 6.5)
Lectura Sugerida: Barbara Ryden (todo el Capítulo 6)

Capítulo 5: Modelos de universos con múltiples componentes de energía

Ecuación de Friedmann:

En el instante actual:



Usando las definiciones del parámetro de densidad y de densidad crítica:



la ecuación de Friedmann toma la forma:



Para el caso de un universo con materia, radiación y constante cosmológica, la solución es:



en que:

Ω₀ = Ω_r,0 + Ω_m,0 + Ω_Λ,0
En general no hay solución analítica y esta ecuación se debe resolver numéricamente. En el Universo en que vivimos:
• Para a → 0 el término de radiación domina
• Para a ≈ 3x10^-4 se produce la igualdad entre radiación y materia
• Para a ≈ 0.75 se produce la igualdad entre materia y Λ
• Para 3x10^-4 << a << 0.75 el término de materia domina
• Para a >> 0.75 domina Λ

I. Modelos con materia y curvatura

Hasta antes de 1998 se pensaba que el Universo no tenía constante cosmológica y que la mayoría de la energía era aportada por la materia no relativista, por lo cual esta solución es de interés histórico. Ecuación de Friedmann:

Solución:
• Caso Ω₀ > 1 (k=+1):

  La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, existirá un tiempo para el cual H(t)=0. En ese instante a_max= Ω₀ / (Ω₀ - 1), la expansión se detendrá, y luego vendrá una etapa de contracción durante la cual las galaxias mostraran blueshifts. La contracción terminará con a=0. Esto es lo que se llama BIG CRUNCH.
  La solución a la ecuación de Friedmann se obtiene de forma paramétrica

  

  en donde el parámetro θ varía de 0 a 2π. El factor de escala se anula para θ=0 (Big Bang) y θ= 2π (Big Crunch). El tiempo para el cual ocurre el Big Crunch es:

  
• Caso Ω₀ < 1 (k=-1):

  La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, la expansión continuará por siempre. Para épocas tempranas a(t)∝t^2/3, mientras que para épocas tardías a(t)∝t. La solución a la ecuación de Friedmann se obtiene de forma paramétrica

  en donde el parámetro η varía de 0 a ∞.

• Caso Ω₀ = 1 (k=0):

  Este era el modelo estándar en la década de 1990. La ecuación de Friedmann muestra que cuando a → ∞, H(t) → 0. La expansión se detiene en un tiempo infinito. La solución a la ecuación de Friedmann es a(t)∝t^2/3.

Para modelos sólo con materia, la densidad de la materia determina tanto la geometría del universo como su destino.


II. Modelo con materia y constante cosmológica

Los posibles tipos de soluciones se pueden ver en el plano (Ω_m,0,Ω_Λ,0):



La línea roja corresponde a modelos planos (Ω_m,0 + Ω_Λ,0 = 1). Sobre esta diagonal hay modelos cerrados (k=1) y bajo esta diagonal hay modelos abiertos (k=-1). El destino de la expansión dependerá de los valores individuales de Ω_m,0 y Ω_Λ,0. Podemos distinguir cuatro tipos de modelos:

• Modelos que colapsan y terminan en Big Crunch (ya sea con k=-1, 0, +1)
• Modelos que se expanden eternamente y que se desaceleran (a'' < 0)
• Modelos que se expanden eternamente y que se aceleran (a'' > 0)
• Modelos con rebotes y sin Big Bang

  Notar que:

• Pueden haber modelos con geometría cerrada (k=+1) y que se expanden por siempre
• Pueden haber modelos con geometría abierta (k=-1) y que terminan colapsando
III. Modelo plano con radiación, materia y constante cosmológica

Este es el mejor modelo para el Universo en que vivimos. Los parámetros del modelo son:

Parámetros cosmológicos del modelo Benchmark

PARAMETRO	VALOR
Fotones	Ωγ,0=5.0 × 10-5
Neutrinos	Ων,0=3.4 × 10-5
Total Radiación	Ωr,0=8.4 × 10-5
Masa bariónica	Ωbar,0=0.04
Masa no bariónica	Ωdm,0=0.26
Total Materia	Ωm,0=0.30
Constante Cosmológica	ΩΛ,0=0.70
Constante de Hubble	H0=70

Evolución:
• A épocas temprana el modelo estuvo dominado por la radiación
• A épocas intermedias el modelo estuvo dominado por la materia
• A épocas más recientes y al futuro el modelo estará dominado por la constante cosmológica

La edad del Universo: t₀ = 0.964 H₀^-1 = 13.5 Gyr.
La época en que la materia y la radiación tienen igual densidad es: 47.000 yr.
La época en que la materia y la radiación tienen igual densidad es: 9.8 Gyr.

Las parámetros de las transiciones son:

Parámetros de las épocas más importantes

	FACTOR DE ESCALA	TIEMPO COSMICO
radiación-materia	ar m=2.8 × 10-4	tr m=4.7 × 104 yr
materia-Λ	amΛ=0.75	tmΛ=9.8 Gyr
ahora	a0=1	t0=13.5 Gyr

El factor de escala se calcula numéricamente a partir de la ecuación de Friedmann:



A partir de a(t) podemos calcular la distancia propia a un objeto de redshift z:



Para z → ∞, d_p → 3.24 c/H₀ que corresponde a la distancia al horizonte y tiene un valor de 14.000 Mpc para el modelo benchmark. No podemos ver más allá de esta distancia porque la luz aún no ha tenido el tiempo para llegar.

A partir de a(t) podemos calcular el look-back time, es decir el tiempo desde que la luz ha estado viajando desde que fue emitida (t₀-t_e):



Por ejemplo, un objeto a z=6 emitió la luz a t_e=0.9 Gyr y t₀-t_e=12.6 Gyr. Los telescopios son máquinas del tiempo!


mhamuy@das.uchile.cl