Lectura Obligatoria: Barbara Ryden (Capítulo 3; Capítulo 7 Sec 7.2 y Sec 7.3)
Lectura Sugerida: Peter Coles (Cosmology; Capítulo 2)

Capítulo 2: Dinámica Cósmica: Newton versus Einstein

Queremos tener un modelo físico para describir la expansión cósmica. Existen cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, fuerzas nucleares fuertes y fuerzas nucleares débiles. Las fuerzas nucleares son de corto alcance por lo cual son despreciables a escalas cosmológicas. Como los objetos astronómicos generalmente no poseen carga eléctrica neta, las fuerzas electromagnéticas no juegan un rol a nivel global. Por estas razones la gravedad es la fuerza que domina la evolución del Universo a gran escala y este es el marco teórico sobre el cual podemos construir modelos de Universo.

La Teoría Universal de la Gravitación fue originalmente presentada por Newton (1643-1727; biografía de Newton) en 1666 y fue reformulada por Einstein (1879-1955; biografía de Einstein) en 1916 (un cuarto de milenio más tarde) en su teoría de la Relatividad General.

I. La gravedad según Newton

Las leyes de Newton del movimiento:

• 1. Todos los objetos permanecen en un estado de movimiento rectilíneo y uniforme a menos que actúe una fuerza sobre ellos
• 2. El cambio de momentum es proporcional a la fuerza y en la dirección de la fuerza aplicada (F=ma)
• 3. A cada acción hay una reacción de igual magnitud pero en la dirección opuesta

La ley de la gravitación: El movimiento de los objetos del sistema solar se debe a una fuerza que actúa sobre ellos llamada gravedad. Cada objeto posee una propiedad llamada masa gravitacional que determina la magnitud de la fuerza gravitacional. Si consideramos dos objetos la fuerza gravitacional es atractiva y su magnitud está dada por la ecuación:


Según la 2a ley de Newton cada objeto posee una propiedad llamada masa inercial que resiste al cambio de momentum en respuesta a la aplicación de una fuerza:



Si la fuerza de gravedad actúa sobre un objeto la aceleración resultante será:



La masa gravitacional es la propiedad que determina la reacción de un objeto a la fuerza gravitacional producida por otro objeto, mientras que la masa inercial es la propiedad que determina la resistencia del objeto a la aceleración (debida a cualquier fuerza). La razón m_g/m_i podría variar de objeto a objeto. Sin embargo los experimentos de caída libre efectuados por Galileo demostraron que todos los objetos caen con la misma aceleración, independiente de su composición y masa. Esta gran coincidencia constituye uno de las principios fundamentales de la física, el Principio de Equivalencia, que establece la igualdad entre masa gravitacional y masa inercial:


II. La gravedad según Einstein

Gracias al Principio de Equivalencia Einstein se dio cuenta que un observador en una caja sin ventanas (ascensor) no podría distinguir si los objetos caen debido a una fuerza gravitacional o si su ascensor está siendo acelerado hacia arriba en el espacio vacío. El Principio de Equivalencia implica que un campo gravitacional uniforme es equivalente a un sistema con aceleración uniforme en ausencia de gravedad.



Consecuencias del PE:


• La luz se curva en presencia de la gravedad (a pesar de que los fotones no tienen masa!!!) (confirmado por Eddington durante el eclipse solar de 1919)
• Como la luz se mueve en línea recta, entonces la curvatura se debe a que el espacio se curva y deja de ser Euclidiano en presencia de gravedad
• En RG masa y energía son equivalentes, por lo que la presencia de masa-energía en general causa la curvatura del espacio
• La gravedad afecta todo lo que posea energía

La masa-energía le dice al espacio-tiempo como curvarse, y el espacio-tiempo le dice a la masa-energía como moverse




Confirmaciones observacionales de la la deflexión de la luz:



Galaxias distorsionadas por cúmulo Abell 2218

Múltiples imágenes de un cuasar debido a lente gravitacional
Newton: la gravedad en una fuerza que opera en un espacio-tiempo absoluto y Euclidiano
Einstein: la gravedad es una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo
III. Descripción de curvatura

En RG necesitamos poder describir matemáticamente la curvatura del espacio-tiempo. Para esto usamos el concepto de métrica que corresponde a la distancia física entre dos puntos separados por cambios infinitesimales de coordenadas.

• Métrica para un espacio 2D plano (Euclidiano) en coordenas cartesianas: ds² = dx² + dy² (Teorema de Pitágoras)

• Métrica para un espacio 2D plano en coordenas polares (ρ,φ): ds² = d ρ² + ρ²dφ²

  Notar que la métrica es invariante el cambio de coordenadas, i.e., un observador que use coordenadas cartesianas encontrará el mismo resultado que un observador que use coordenadas polares.

• Métrica isotrópica y esférica en 2D: ds² = R² [ dθ² + sin²θdφ² ] (coordenadas esféricas)
  ds² = dρ² + R² sin²(ρ/R) dφ² (coordenada polares ρ=Rθ;φ)
  ds² = dx²/[1-x²/R²] + x² dφ² (x=Rsinθ;φ)

  R : radio de curvatura
  1/R² : curvatura

• Métrica isotrópica esférica, plana o hiperbólica en 2D:
  ds² = dρ² + S_k²(ρ) dφ² (coordenadas polares)
  S_k = R sin(ρ/R) (curvatura positiva) S_k = ρ (curvatura cero) S_k = R sinh(ρ/R) (curvatura negativa)

  También se puede escribir:

  ds² = dx²/[1-kx²/R²] + x² dφ² [x=S_k(ρ);φ]

  en que el parámetro de curvatura k puede ser:

  k = +1 (curvatura positiva) k = 0 (curvatura cero) k = -1 (curvatura negativa)

  Resumen de propiedades geométricas de espacios de 2D

  CURVATURA	NEGATIVA	CERO	POSITIVA
  ISOTROPICO	SI	SI	SI
  PARAMETRO DE CURVATURA	-1	0	+1
  SUMA DE ANGULOS DE TRIANGULO	‹180	180	›180
  AREA	∞	∞	4πR2
  MAXIMA SEPARACION	∞	∞	πR
  NOMBRE	ABIERTO	PLANO	CERRADO

  
  

• Métrica isotrópica en 3D:

  Notar que en 2D xdφ es el elemento de distancia perpendicular a la dirección radial ρ. Esta métrica se puede generalizar a 3D cambiando xdφ por xdΩ (dΩ² = dθ² + sin²θ dφ²).

  ds² = dρ² + S_k²(ρ) dΩ² (coordenadas esféricas)
  ds² = dx²/[1-kx²/R²] + x² dΩ²
  
  Visualización de un espacio curvo en 3D

  Resumen de propiedades geométricas de espacios de 3D

  CURVATURA	NEGATIVA	CERO	POSITIVA
  ISOTROPICO	SI	SI	SI
  PARAMETRO DE CURVATURA	-1	0	+1
  SUMA DE ANGULOS DE TRIANGULO	‹180	180	›180
  VOLUMEN	∞	∞	2πR3/3
  MAXIMA SEPARACION	∞	∞	FINITA
  NOMBRE	ABIERTO	PLANO	CERRADO

  Notar que la curvatura es una propiedad de la grilla 3D y no requiere una cuarta coordenada (dimensión) espacial. Un observador en un espacio curvo está restringido a moverse dentro de los límites de las 3 dimensiones espaciales y no tiene ninguna noción de lo que ocurre afuera. NO EXISTE UN AFUERA.

IV. La métrica de Robertson y Walker

El experimento de Michelson-Morley mostró que la velocidad de la luz es independiente del movimiento entre la fuente de luz y el observador. Este es uno de los principios fundamentales de la teoría de la Relatividad Especial (1905).

Si se emite una señal luminosa desde el origen de un sistema de referencia cartesiano S, la ecuación del frente de la onda esférica es c²t²=x²+y²+z². En un sistema inercial móvil S' que coincide con S en el instante de la emisión la ecuación del frente de la onda esférica es c²t'²=x'²+y'²+z'² (c=c'). Esta condición determina la transformación de coordenadas entre S y S', la que se denomina "Transformación de Lorentz". Una propiedad fundamental de la Transformación de Lorentz es que deja invariante el intervalo:

ds² = -c²dt² + dx² + dy² + dz²

La Relatividad Especial nos enseña que ds² es la distancia entre dos eventos en un espacio de coordenadas cuadrimensional: el espacio-tiempo.

• Métrica plana en espacio-tiempo (métrica de Minkowski)
  ds² = -c²dt² + dρ² + ρ²dΩ²

  En el espacio-tiempo el desplazamiento de los fotones está dado por ds² = 0, i.e, dρ/dt=±c

• En RG los efectos de la gravedad se traducen en cambios en las propiedades del espacio-tiempo. El matemático y físico norte-americano Howard Robertson (1903-1961; ver biografía) y el matemático inglés Arthur Walker (1909-2001; ver biografía) demostraron independientemente (~1930) que la métrica más general que satisface los principios de isotropía y homogeneidad es:
  ds² = -c²dt² + a(t)²[dρ² + S_k²(ρ)dΩ²] ds² = -c²dt² + a(t)²[dx²/(1-kx²/R₀²) + x²dΩ²]
  • a(t): factor de escala sin dimensión
  • a(t₀) = 1
  • t: tiempo cósmico
  • (ρ, θ, φ) coordenadas comóviles (constantes en el tiempo)
  • (x, θ, φ) coordenadas comóviles (constantes en el tiempo)
  • k: constante de curvatura (+1,0,-1)
  • R₀: radio de curvatura (km) en este instante t₀

  Conociendo a(t), k, y R₀ sabemos toda la geometría

  
  Modelo 2D de Universo isotrópico y homogéneo en expansión
  
V. Distancia Propia y ley de Hubble en métrica R-W

Entre el observador y una galaxia, dθ = dφ = 0, por lo que

ds² = -c²dt² + a(t)² dρ²

La distancia propia es aquella medida al mismo tiempo -> dt=0



La distancia propia a un objeto con coordenada móvil ρ en el instante actual es:



Usando la ecuación que satisfacen los fotones:



con lo cual la distancia propia en términos del factor de escala es:



En un intervalo de tiempo dt la luz se desplaza una distancia propia cdt/a(t) de modo que la integral anterior corresponde a la distancia propia total recorrida por la luz entre el instante de emisión y la recepción. La distancia propia depende entonces de la historia de la expansión cósmica a través de a(t). Para el caso de un universo estático a=constante=1, por lo cual,



La distancia propia contiene informacion sobre el tiempo en que la luz salió de la fuente. Al mirar más lejos estamos mirando más atrás en el tiempo. Los telescopios son máquinas del tiempo.

A partir de la distancia propia podemos calcular una velocidad:



con lo cual recuperamos la ley de Hubble



La constante de Hubble corresponde a:



En general:



La constante de Hubble mide la tasa de expansión del Universo en el instante t y cambia en el tiempo. Notar que se puede definir la distancia de Hubble:



para la cual una galaxia se mueve a la velocidad de la luz. Para H₀=70 la distancia de Hubble es 4300 Mpc. Las galaxias a distancias mayores se mueven a v > c!!! La velocidad se debe a la expansión del espacio y no al movimiento relativo de dos objetos en un espacio estático!

VI. El horizonte cosmológico

El objeto más lejano que podemos observar (en teoría) es aquel cuya luz fue emitida en t_e=0 y que nos está llegando en t₀. La distancia propia de ese objeto se denomina horizonte y se expresa:



El horizonte es una superficie esférica centrada en el observador, más allá de la cual no podemos ver porque la luz no ha tenido el tiempo de llegar al observador. El horizonte divide el universo visible del universo invisible.


VII. El redshift cosmológico

Los fotones entre el observador y una galaxia se mueven a lo largo de trayectorias con dθ = dφ = 0 y ds²=0



Para un fotón emitido en t_e y recibido en t₀:



Para un fotón emitido en t_e+dt_e y recibido en t₀+dt₀:



por lo cual,


Restando:


Obtenemos:



Se ha hecho uso de que a(t) con cambia durante los intervalos dt_e y dt₀. De este modo:






Esta relación se conoce como la dilatación del tiempo. Este efecto ha sido medido experimentalmente a partir de curvas de luz de supernovas.


En azul se muestran supernovas a z~0 y en rojo supernovas a z~0.5

Para las ondas de luz, el período de la onda también se dilata. Considerando el período de la onda emitida Δt₀ = λ₀/c y el de la onda recibida Δt_e = λ_e/c



Esta cantidad está relacionada con una cantidad observada:



con lo cual


• Jamás z + 1 !!!
• El redshift coresponde al aumento del factor de escala entre la emisión y la recepción. El redshift es independiente de la historia de a(t). Sólo mide el cambio en a(t):
  
  

• El redshift se debe al estiramiento de las ondas causado por la expansión del espacio y NO al efecto Doppler entre fuente y observador en un espacio estático.
  Pregunta: Suponga que dos galaxias lejanas mantuvieron una distancia constante por un tiempo (etapa 1), luego se alejaron por un período (etapa 2) y luego han mantenido la distancia constante (etapa 3). Considere fotones emitidos por una de las galaxias en la etapa 1 y recibidos por la otra galaxia en la etapa 3. Cual es el redshift medido por el observador que recibe los fotones si el aumento de la distancia se debe a la expansión del espacio? Cual es el redshift si el alejamiento se debió al aumento de la distancia en un espacio estático?
• El redshift hace que el espectro no sólo se desplace al rojo sino que se estire.
  
  Espectro de un cuasar en reposo y otro corrido al rojo
  
  

• Un objeto con redshift z=∞ se encuentra en el horizonte debido a que la luz del objeto fue emitida a t_e=0, cuando el factor de escala a(t_e=0)=0, por lo cual z(t_e=0)=∞.
  VIII. Distancia Lumínica

  Desafortunadamente la distancia propia a un objeto no es una cantidad medible. Sería necesario medir con una huincha que se extendiera a velocidad infinita o tendríamos que detener la expansión del Universo. Un método habitual en mediciones de distancias astronómicas es el del patrón lumínico (standard candle), el cual consiste en medir el flujo f de un objeto de luminosidad conocida L. Usando la ley del inverso del cuadrado podemos definir la distancia lumínica mediante:

  

  La cantidad d_L es una "distancia" y sería la distancia propia a la fuente si el Universo fuese estático y euclidiano. Necesitamos derivar la relación entre distancia propia y distancia lumínica. Para derivar una expresión para la distancia lumínica hay que pensar en término de fotones emitidos por la fuente (en el origen de coordenadas), los cuales se dispersan sobre una esfera de radio propio d_p(t₀)=ρ (ρ es la coordenada comóvil del observador). Para calcular el área de la esfera recordemos la métrica de Robertson-Walker:

  ds² = -c²dt² + a(t)²[dρ² + S_k²(ρ)dΩ²]
  S_k = R sin(ρ/R) (k=+1) S_k = ρ (k=0) S_k = R sinh(ρ/R) (k=-1)

  El área propia de la esfera centrada en la fuente y radio propio ρ al momento de la recepción de los fotones es:

  

  Para k=0 se recupera la expresión habitual de la métrica euclidiana (4πρ²). El área propia será menor que 4πρ² cuando k=1, y mayor que 4πρ² cuando k=-1.

  Aparte de estos efectos geométricos, la expansión del universo hace que cada fotón disminuya su energía en un factor (1+z):

  

  La expansión también causa la dilatación del tiempo:

  

  por lo cual los fotones emitidos en un intervalo δt_e llegan en un intervalo mayor δt₀. Es decir la tasa de recepción de fotones (el flujo medido) disminuye en un factor (1+z) con respecto a un universo estático. El resultado es que en un universo curvo en expansión el flujo medido es:

  

  Comparando con la definición de distancia lumínica dada anteriormente, obtenemos:

  

  en que la aproximación S_k≈ρ es válida cuando R >> ρ. En la aproximación de un universo plano la relación con la distancia propia es:

  

  Vemos que si usamos un patrón lumínico y la ley del inverso al cuadrado, obtendremos una sobre estimación por un factor (1+z) de la distancia propia.

  
  IX. Distancia de Diámetro Angular

  Otro metodo empírico para determinar distancias cosmológicas consiste en medir el tamaño angular de un objeto cuyo tamaño físico sea conocido. Si el largo propio de esta regla es l, el objeto está alineado perpendicularmente a la línea de visión y subtiende un ángulo δθ, podríamos calcular la distancia de diámetro angular:

  

  La cantidad d_A sería la distancia propia a la regla si el Universo fuese estático y euclidiano. Para el caso general de un universo curvo necesitamos usar la métrica de Robertson-Walker para derivar la relación entre distancia y coordenada comóvil ρ. Para esto supongamos que las coordenadas de los extremos de la regla son (ρ,θ₁,&phi) y (ρ,θ₂,&phi). A medida que la luz se mueve hacia el obervador, los fotones se desplazan a lo largo de geodésicas con θ=constante y φ=constante. El tamaño angular de la regla será δθ=θ₂-θ₁. La distancia ds entre los dos extremos, medida en el instante de la emisión t_e se obtiene de la métrica:

  

  Para el caso de una regla de largo l, tenemos l=ds, por lo cual

  

  De este modo, la distancia de diámetro angular resulta:

  

  Comparando con la definición de distancia lumínica, se obtiene:

  

  Para el caso de un universo plano (k=0), obtenemos una relación simple con la distancia propia:

  

  La distancia de diámetro angular es menor por un factor (1+z) que la distancia propia al objeto. La distancia de diámetro angular aumenta con el redshift, alcanza un máximo cerca de z~1.6, y luego decrece con el redshift. Eso implica que si el cielo estuviese lleno de reglas cósmicas del mismo largo, sus tamaños angulares dismimuirían hasta z~1.6 y luego aumentarían a redshifts mayores. El cielo estaría lleno de reglas grandes pero débiles.

  En la práctica resulta difícil identificar reglas cósmicas con tamaño conocido. Las galaxias no sólo no tienen bordes bien definidos, sino que tienden a aumentar de tamaño a medida que se mezclan con galaxias vecinas. Los cúmulos de galaxias también tienden a crecer con el tiempo por lo cual el método del de diámetro angular está plagado de incertezas.

  
  mhamuy@das.uchile.cl