Lectura Obligatoria: Barbara Ryden (Capítulo 6)
Lectura Sugerida:
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Ecuación de Friedmann:
- Para a → 0 el término de radiación domina
- Para a ≈ 3x10-4 se produce la igualdad entre radiación y materia
- Para a ≈ 0.75 se produce la igualdad entre materia y Λ
- Para 3x10-4 << a << 0.75 el término de materia domina
- Para a >> 0.75 domina Λ
- Caso Ω0 > 1 (k=+1):
La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, existirá un tiempo para el cual H(t)=0. En ese instante amax= Ω0 / (Ω0 - 1), la expansión se detendrá, y luego vendrá una etapa de contracción durante la cual las galaxias mostraran blueshifts. La contracción terminará con a=0. Esto es lo que se llama BIG CRUNCH.
La solución a la ecuación de Friedmann se obtiene de forma paramétrica
en donde el parámetro θ varía de 0 a 2π. El factor de escala se anula para θ=0 (Big Bang) y θ= 2π (Big Crunch). El tiempo para el cual ocurre el Big Crunch es:
- Caso Ω0 < 1 (k=-1):
La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, la expansión continuará por siempre. Para épocas tempranas a(t)∝t2/3, mientras que para épocas tardías a(t)∝t. La solución a la ecuación de Friedmann se obtiene de forma paramétrica
- Caso Ω0 = 1 (k=0):
Este era el modelo estándar en la década de 1990. La ecuación de Friedmann muestra que cuando a → ∞, H(t) → 0. La expansión se detiene en un tiempo infinito. La solución a la ecuación de Friedmann es a(t)∝t2/3.
- Caso Ωm,0 > 1 (ΩΛ,0 < 0):
La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, existirá un tiempo para el cual H(t)=0, en el cual la expansión se detendrá. La evolución del factor de escala está dada por:
El Universo se expandirá hasta amax, luego de lo cual vendrá una etapa de contracción hasta un Big Crunch en un tiempo:
Notar que estamos en el caso de un universo plano e infinito; sin embargo la expansión no es eterna como en el caso de un universo sólo con materia.
- Caso Ωm,0 < 1 (ΩΛ,0 > 0):
La ecuación de Friedmann muestra que, para un universo en expansión, la constante de Hubble es siempre positiva y la expansión será eterna. La evolución del factor de escala está dada por:
La época en que la materia y la constante cosmológica tienen igual densidad es:
IV. Modelos con materia, curvatura y Λ En este caso la ecuación de Friedmann toma la forma:
Los posible tipos de soluciones se pueden ver en el plano (Ωm,0,ΩΛ,0):
La línea roja corresponde a modelos planos (Ωm,0 + ΩΛ,0 = 1). Sobre esta diagonal hay modelos cerrados (k=1) y bajo esta diagonal hay modelos abiertos (k=-1). El destino de la expansión dependerá de los valores individuales de Ωm,0 y ΩΛ,0. Podemos distinguir cuatro tipos de modelos:
- Modelos que colapsan y terminan en Big Crunch (ya sea con k=-1, 0, +1)
- Modelos que se expanden eternamente y que se desaceleran (a'' < 0)
- Modelos que se expanden eternamente y que se aceleran (a'' > 0)
- Modelos con rebotes y sin Big Bang
Notar que:
- Pueden haber modelos con geometría cerrada (k=+1) y que se expanden por siempre
- Pueden haber modelos con geometría abierta (k=-1) y que terminan colapsando
V. Modelos planos con materia y radiación Este es un caso que nos interesa porque es una buena aproximación al Universo para épocas tempranas (cuando a ≈ 3×10-4 o antes). El requisito de la geometría plana se traduce en Ωr,0 + Ωm,0 = 1. En este caso la ecuación de Friedmann se reduce a:
corresponde al factor de escala para el cual Ωr = Ωm. Para épocas tempranas (a << arm) a ∝ t1/2, mientras que para épocas tardías (a >> arm) a ∝ t2/3.
La época en que la materia y la radiación tienen igual densidad es:
Esto muestra que podemos ignorar la contribución de la radiación a la edad del Universo de 13.5 Gyr calculada anteriormente sólo con materia y constante cosmológica.
Este gráfico muestra en rojo a(t) para a << arm, en azul a(t) para a >> arm, y en negro a(t) para todo tiempo.
VI. Modelo plano con radiación, materia y constante cosmológica Este es el mejor modelo para el Universo en que vivimos. Los parámetros del modelo son:
Parámetros cosmológicos del modelo Benchmark PARAMETRO VALOR Fotones Ωγ,0=5.0 × 10-5 Neutrinos Ων,0=3.4 × 10-5 Total Radiación Ωr,0=8.4 × 10-5 Masa bariónica Ωbar,0=0.04 Masa no bariónica Ωdm,0=0.26 Total Materia Ωm,0=0.30 Constante Cosmológica ΩΛ,0=0.70 Constante de Hubble H0=70 
- A épocas temprana el modelo estuvo dominado por la radiación
- A épocas intermedias el modelo estuvo dominado por la materia
- A épocas más recientes y al futuro el modelo estará dominado por la constante cosmológica
Las parámetros de las transiciones son:
Parámetros de las épocas más importantes FACTOR DE ESCALA TIEMPO COSMICO radiación-materia ar m=2.8 × 10-4 tr m=4.7 × 104 yr materia-Λ amΛ=0.75 tmΛ=9.8 Gyr ahora a0=1 t0=13.5 Gyr El factor de escala se calcula numéricamente a partir de la ecuación de Friedmann, a partir del cual se calcula la constante de Hubble y el parámetro de desaceleración (q):
A partir de a(t) podemos calcular la distancia propia a un objeto de redshift z:
Para z → ∞, dp → 3.24 c/H0 que corresponde a la distancia al horizonte y tiene un valor de 14.000 Mpc para el modelo benchmark. No podemos ver más allá de esta distancia porque la luz aún no ha tenido el tiempo para llegar.
A partir de a(t) podemos calcular el look-back time, es decir el tiempo desde que la luz ha estado viajando desde que fue emitida (t0-te):
Por ejemplo, un objeto a z=6 emitió la luz a te=0.9 Gyr y t0-te=12.6 Gyr. Los telescopios son máquinas del tiempo!
mhamuy@das.uchile.cl
En el instante actual:
Usando las definiciones del parámetro de densidad y de densidad crítica:
la ecuación de Friedmann toma la forma:
Para el caso de un universo con materia, radiación y constante cosmológica, la solución es:
en que:
En general no hay solución analítica y esta ecuación se debe resolver numéricamente. En el Universo en que vivimos:
Hasta antes de 1998 se pensaba que el Universo no tenía constante cosmológica y que la mayoría de la energía era aportada por la materia no relativista, por lo cual esta solución es de interés histórico. Ecuación de Friedmann:
Para modelos sólo con materia, la densidad de la materia determina tanto la geometría del universo como su destino.
Este es un caso que nos interesa ya que es una buena aproximación al universo en que vivimos. El requisito de geometría plana se traduce en Ωm,0 + ΩΛ,0 = 1. En este caso la ecuación de Friedmann se reduce a:
